BAB 7 SISTEM DIGITAL

 BAB 7

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean

    Aljabar Boolean adalah aljabar matematika yang hanya memiliki 2 bilangan yaitu 0 dan 1 (bilangan biner), aljabar boolean disebut juga penjabaran teknik logika x dan y dimana di dalam programnya terdapat diantaranya : AND, OR, dan NOT yang nanti akan saya jelaskan dibawah.

FUNGSI LOGIKA 

    Mungkin fungsi logika pada matematika ada banyak, diantaranya permutasi, combinasi, komutatif, asosiatif, dan lain lain yang sering kita pelajari di sekolah, namun pada fungsi logika yang akan kita bahas adalah fungsi logika yang terdapat dalam CU (control unit) pada CPU (komputer).

    Komputer memiliki fungsi logika yang sama seperti logika matematika, hanya saja fungsi ini hanya menjawab 2 jawaban saja yakni true atau false (0 atau 1), contoh : 1+1= 0 (simpan 1), ini menandakan angka 1 jika di AND dengan 1 hasilnya 0 (true) bukan 2, hal in i bersifat sama seperti bilang biner. 

    Negasi dari suatu aljabar boolean menunjukan bahwa perubahan perintah dari true menjadi false seperti ~x (negasi x), namun jika dinegasikan lagi maka akan kembali seperti awal seperti ~(~x)=x, hal ini disebut involution, ini terdapat pada hukum De' Morgan. 

FUNGSI AND DAN XAND 

    Fungsi AND dan XAND adalah fungsi dimana x dan y ditambahkan.

TABEL FUNGSI AND    

    Ini menandakan bahwa pada fungsi AND nilai x dan y jika salah satunya true maka akan true, sedangkan jika dua-duanya false maka jawabannya false, fungsi AND diibaratkan dengan penggabungan 2 buah nilai yang berbeda, sedangkan pada XAND adalah sebuah fungsi negasi dari AND.Dibawah ini tabel AND 

 

AND	0	1
0	0	0
1	0	1

 

FUNGSI OR DAN XOR 

    Fungsi ini sering disebut fungsi perbandingan, karena pada fungsi ini jikalau salah satunya false maka hasilnya akan false pula, seperti tabel berikut:

 

OR	0	1
0	0	1
1	1	1

 

Dan XOR adalah negasi dari OR

    Seperti yang telah kita ketahui diatas, bahwa aljabar boolean sama seperti aljabar yang lainnya, seperti fungsi logika yang memiliki AND, OR, PERMUTASION dan COMBINATION (hanya saja permutasi dan combinasi tidak akan saya jelaskan), dan seperti yang kita ketahui lagi ternyata komputer pun memiliki sistem prosesnya melalui logika yang sering kita gunakan. 

    Menguraikan Rangkaian-Rangkaian Logika Secara Aljabar Setiap rangkaian logika, bagaimanapun kompleksnya, dapat diuraikan secara lengkap dengan menggunakan operasi-operasi Boolean yang telah didefinisikan sebelumnya, karena rangkaian OR gate, AND gate, dan NOT gate merupakan blok-blok bangun dasar dari system-sistem digital. 

A. PENGERTIAN ALJABAR BOOLEAN 

    Aljabar boolean adalah aljabar yang berhubungan dengan variabel biner dan operasi logik, dimana aljabar boolean adalah sistem matematika yang terbentuk dari 3 operator logika berupa "negasi", Logika "AND" dan "OR". Selain simbol logika "0" dan "1" yang digunakan untuk merepresentasikan masukan atau keluaran digital, kita juga dapat menggunakannya sebagai konstanta pada rangkaian terbuka atau rangkaian tertutup secara permanen.

    Aljabar Boolean adalah operasi matematika yang berguna dalam menganalisis gerbang dan rangkaian digital, dengan menggunakan "Hukum Boolean" ini maka akan dapat mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean yang kompleks dengan maksud untuk mengurangi jumlah gerbang logika yang diperlukan. Oleh sebab itu, Aljabar Boolean adalah sistem matematika yang didasarkan pada logika yang memiliki seperangkat aturan atau hukum yang berguna dalam menentukan, mengurangi atau menyederhanakan ekspresi Boolean.

B. TABEL KEBENARAN HUKUM ALJABAR BOOLEAN

C. FUNGSI ALJABAR BOOLEAN 

    Berdasarkan penjelasan sebelumnya, maka gerbang dasar AND, OR, NOT 2 masukan akan menghasilkan 16 fungsi yang ditunjukkan pada tabel dibawah

D. OPERASI ALJABAR BOOLEAN DUA VARIABEL DAN TIGA VARIABEL 

    Dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aljabar Boolean dua dan tiga variabel maka digunakan sifat identitas, disamping itu prinsip dualitas juga digunakan pada sifat-sifat identitas. Jika A, B, dan C adalah Variabel Boole maka maka berlaku hukum/sifat berikut 

Hukum Komutatif 

    Hukum Komutatif menjelaskan bahwa penukaran atau perubahan urutan variabel masukan atau sinyal masukan sama sekali tidak mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika. 

Hukum Asosiatif 

    Hukum Asosiatif menjelaskan bahwa perubahan urutan penyelesaian operasi pada variabel tidak akan mempengaruhi variabel keluaran suatu rangkaian logika.

Hukum Distributif 

    Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel masukan pada operasi aljabar Boolean dapat disebarkan tempatnya tanpa mengubah variabel hasil dari keluaran suatu rangkaian logika. 

Hukum Absorbsi, Kombinasi, dan Konsensus 

Sifat Identitas lain

    Beberapa sifat pada teorema Boolean dapat dipergunakan untuk menyederhanakan suatu pernyataan logika, dengan kata lain suatu pernyataan kompleks akan dapat disederhanakan dengan menggunakan konsep teorema Boolean tanpa mengubah fungsi logikanya. 

E. PRIORITAS OPERASI ALJABAR BOOLEAN 

    Pada teorema Aljabar Boolean dikenal 3 operasi logika yaitu operasi logika OR,AND, dan NOT sehingga dapat dihasilkan berbagai bentuk fungsi logika. Demi memudahkan dalam pengoperasianya maka dipergunakan tanda kurung untuk memberikan prioritas. Pada dasarnya konsep prioritas operasi ini tidak ada bedanya dengan konsep prioritas pada operasi aritmatika. 

    Berikut aturan prioritas operasi Aljabar Booolean 

    1. Bila terdapat tanda kurung maka diselesaikan terlebih dahulu. 

    2. Bila tidak terdapat tanda kurung, maka suatu penyataan logika diselesaikan dengan urutan : NOT, AND setelah itu OR.

FUNGSI BOOLEAN 

    Dalam Aljabar Boolean, variable x disebut peubah Boolean. Fungsi Boolean adalah ekspresi yang dibentuk dari peubah Boolean melalui operasi penjumlahan, perkalian, atau komplemen.

    Selain dengan cara aljabar, fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk tabel kebenaran. Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menyatakan seluruh kemungkinan nilai peubah dari fungsinya. Jika suatu fungsi Boolean memuat n peubah, maka banyaknya baris dalam tabel kebenaran ada 2n .

    Fungsi Boolean tidak unik (tunggal), artinya dua fungsi yang ekspresinya berbeda dikatakan sama jika keduanya mempunyai nilai yang sama pada tabel kebenaran untuk setiap kombinasi peubah- peubahnya. Contoh: f(x,y,z) = x’y’z + x’yz + xy’ dengan g(x,y,z) = x’z + xy

KOMPLEMEN FUNGSI 

    Ada dua cara untuk mencari komplemen suatu fungsi Boolean.  

Cara 1: Dengan menggunakan hukum De Morgan berulang-ulang Hukum De Morgan yang diperluas: (A1 + A2 + A3 + . . . + An) ‘ = A1’ . A2’ . A3’ . . . An’ (A1 . A2 . A3 . . . An) ‘ = A1’ + A2’ + A3’ + . . . +An’

Cara 2: Menggunakan dual fungsi Langkah – langkah: Tentukan dual f. Komplemen dari f didapat dengan cara mengkomplemenkan setiap variabel yang ada pada dual f. Contoh: f(x,y,z) = x(y’z’ + yz) Dual f = x + (y’+z’) (y + z) Maka f ‘= x’ + (y + z) (y’ + z’) (setiap variabel pada dual f dikomplemenkan)

F. BENTUK STANDAR FUNGSI BOOLEAN 

    Ada 2 bentuk standar fungsi Boolean: Sum of Product (SOP) / Minterm Product of Sum (POS) / Maxterm 

Sum of Product Ciri – ciri: 

Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah perkalian. Setiap suku (term) dijumlahkan. Setiap suku mengandung semua variabel. 

Contoh: f(x,y) = xy + x’y 

g(x,y,z) = x’yz + xyz + x’y’z’ Cara membaca: 

Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 1. 

Variabel dengan komplemen dibaca 0.

Product of Sum Ciri – ciri: 

Dalam setiap suku operasi variabelnya adalah penjumlahan. Setiap suku (term) dikalikan. Setiap suku mengandung semua variabel. 

Contoh: f(x,y) = (x’+ y) (x + y’) 

g(x,y,z) = (x + y + z’) (x’ + y’ + z) (x + y + z) Cara membaca: 

Variabel tampa komplemen dianggap bernilai 0. 

Variabel dengan komplemen dibaca 1. 

KONVERSI BENTUK FUNGSI 

Konversi ke bentuk SOP 

Contoh1: f(x,y) = x + x’y 

= x.1 + x’y (lengkapi variabel disetiap suku dgn cara mengalikan dengan 1) 

= x (y + y’) + x’y (ganti 1 dengan menggunakan hukum komplemen untuk memunculkan variabel yang belum ada) 

= xy + xy’ + x’y (gunakan hukum distributif) 

= m3 + m2 + m1 

= (1,2,3) 

Konversi ke bentuk POS 

Contoh 1 : f(x,y) = x + x’y 

= (x + x’) (x + y) (gunakan hukum distributif untuk menghilangkan perkalian pada setiap suku) 

= 1. (x + y) 

= (x + y) 

= M0 

= (0)

Cara membaca: 

Bentuk SOP : baca baris bernilai ‘1’ 

Kombinasi peubahnya, tulis dalam bentuk minterm Jadi, 

f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz = (1,4,7) 

Bentuk POS : baca baris bernilai ‘0’ 

Kombinasi peubahnya, tulis dalam bentuk maxterm Jadi, 

f(x,y,z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’) (x’ + y’ + z) = (0,2,3,5,6)[7]