SISTEM DIGITAL BAB 8

 BAB 8

KARNAUGH MAP

Peta Karnaugh digunakan untuk mempermudah penyederhanaan fungsi aljabar Boolean. Misalnya, perhatikan fungsi Boolean yang dijelaskan oleh tabel kebenaran berikut.

Berikut ini adalah dua notasi berbeda yang menjelaskan fungsi yang sama dalam aljabar Boolean tak disederhanakan, menggunakan variabel Boolean A, B, C, D dan inversnya. 

𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷) = ∑ 𝑚𝑖, 𝑖 𝜖{ 6,8,9,10,11,12,13,14} di mana minterms untuk dipetakan (yaitu, baris yang memiliki keluaran 1 dalam tabel kebenaran).

𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷) = ∏ 𝑀𝑖 , 𝑖 { 0,1,2,3,4,5,7,15 } di mana maxterms untuk dipetakan (yaitu, baris yang memiliki keluaran 0 dalam tabel kebenaran).

A. KARNAUGH MAP BESERTA PENJELASANNYA

Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah masukan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung. Rumus untuk menentukan jumlah kotak pada K-Map adalah 2n yang mana adalah banyaknya variabel / masukan.

B. LANGKAH – LANGKAH PEMETAAN K-MAP SECARA UMUM :

1. Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

2. Menggambar rangkaian digital

3. Membuat Table Kebenarannya

4. Merumuskan Tabel Kebenarannya

5. Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)

C. PENYEDERHANAAN DUA VARIABEL

Contoh

F = AB + A'B + AB' 

Penyelesaian: 

Gambarkan K-Map Model-1 untuk dua variabel

Ganti kotak-kotak yang sesuai untuk AB, A'B, dan AB, dengan angka satu (1) dan sisanya dengan angka nol (0)

Gabungkan semua angka satu (1) sesederhana mungkin. Untuk mempermudah dapat menggunakan pemetaan K-Map dua variabel.

Hasil penyederhanaan dari F = AB + A'B + AB' adalah F = A + B 

Perbandingan dengan cara Aljabar: F = AB + A'B+AB' = A (B+B') + A'B = A (1) + A'B = A + A'B = A + B (Teorema T9)

PENYEDERHANAAN TIGA VARIABEL 

Contoh. 

F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC 

Penyelesaian: 

Gambarkan K-Map Model-1 untuk 3 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili ABC', AB'C', AB'C, dan ABC, sisanya diisi dengan angka nol (0).

Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area A pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.

Perbandingan dengan Aljabar: 

F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC 

F = AB (C'+C) + AB' (C'+C) 

F = AB (1) + AB' (1) 

F = AB + AB' 

F = A (B+B') 

F = A (1) = A

PENYEDERHANAAN EMPAT VARIABEL 

F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD 

Penyelesaian 

Gambarkan K-Map Model-1 untuk 4 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili A'BC'D, ABC'D, A'BCD, ABCD, sisanya diisi dengan angka nol (0).

Hasil penyederhanaan dari 

F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD adalah F = BD

Perbandingan dengan Aljabar: 

F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD 

= (A'+A) BC'D + (A'+A) BCD 

= (1) BC'D + (1) BCD 

= BC'D + BCD 

= BD (C'+C) 

= BD (1) 

= BD [4]

PENYEDERHANAAN DUA VARIABEL

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 2 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal :

H = AB + A’B+AB’

Maka cara pengerjaannya seperti dibawah ini

Bar (‘) atau aksen biasanya ditulis kedalam angka 0 sedangkan angka 1 adalah tanpa Bar aksen.

Yang dapat disederhanakan dalam K-Map hanya 2 kelipatan 2 dari kotak yang berdempetan dan sedangkan jika seperti kotak diatas maka penyederhanaan seperti gambar diatas bagian 2.

Karena kolom ber angka 1 dan baris ber angka 1 memenuhi setiap garisnya, maka dapat disimpulkan kalau H = AB + A’B+AB’ K-Map nya adalah AB/BA.

PENYEDERHANAAN TIGA VARIABEL

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 3 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal diatas gambar bagian 2

H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C

Maka cara pengerjaannya seperti di gambar bagian 2.Dan dapat dipermudah lagi menjadi seperti di gambar bagian 3.

Sekarang kita lihat, karena yang memenuhi setiap kotaknya adalah baris 01 dan 11 sedangkan simbol 01 artinya adalah (B’C) dan 11 artinya adalah (BC) dan simbol yang tidak ada aksen nya hanya C, maka H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C adalah C.

PENYEDERHANAAN EMPAT VARIABEL

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 4 variabel adalah seperti dibawah ini :

Contoh Soal

H = ABCD + ABCD’+AB’CD+ABC’D’

Maka cara pengerjaannya seperti dibawah ini.

Dan dapat dipermudah lagi seperti di gambar bagian 3.

Karena yang ada angka 1 nya ada di kolom dan baris 1100, 1111, 1110 dan 1011, yaitu AB, ABCD, ABC dan ACD maka jika kita eliminasi dengan cara mengambil huruf yang sama saja menjadi AB + ABC + ACD.

Karnaugh map (disingkat K-Map) adalah suatu metode untuk menjelaskan beberapa hal tentang penghitung aljabar boolean, metode ini telah ditemukan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Karnaugh map ini sering digunakan untuk perhitungan yang menghitung sistem pola pikir manusia dengan hal-hal yang menguntungkan (sistem pemetaan peluang). Karnaugh Map atau K Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah masukan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Karnaugh Map (disingkat K-map) adalah sebuah peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah Tabel Kebenaran menjadi sebuah rangkaian Logika. 

LANGKAH-LANGKAH DALAM MENGGUNAKAN K-MAP ADALAH SEBAGAI BERIKUT

Logika Boolean Setelah cukup memahami teorema aljabar Boolean, penyederhanaan fungsi Boolean dengan aljabar, dan model-model Karnaugh Map beserta pemetaannya, kini saatnya mencoba menyelesaikan fungsi logika Boolean dengan Peta Karnaugh (Karnaugh Map/ K-Map). Jika suatu fungsi logika memiliki tiga atau empat variabel, maka penyelesaian dengan K-Map ini akan lebih mudah dibanding dengan penyederhanaan cara Aljabar. Dari beberapa model K-Map yang telah dibahas sebelumnya, penyederhanaan fungsi logika pada posting ini hanya akan menggunakan model-1 karena metode penyederhanaan dengan model-model K-Map lain pun hasilnya akan tetap sama. 

Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product). Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu. Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 jumlah variabel masukan. Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel Kebenaran. Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan, dengan aturan :

1. hanya minterm berdekatan secara vertikal atau horizontal yang boleh di-cover.

2. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover adalah : 2. 4, 8, 16, 32

3. Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-cover-an minterm.

4. Dari persamaan SOP yang didapatkan, bisa digambarkan rangkaian hasil penyederhanaannya.

Contoh :

Dari persamaan berikut ini, buatlah rangkaian penyederhanaannya. X = ABC’ + A’B + A’B’ Persamaan di atas dipetakan ke dalam K-Map menjadi seperti Gambar 

Setelah dilakukan peng-cover-an minterm-minterm yang berdekatan :

Dari hasil peng-cover-an didapatkan persamaan SOP :

X = A' + BC’

Rangkaian penyederhanaannya adalah seperti pada gambar 5-4

berikut merupakan Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum :

1. Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

2. Menggambar rangkaian digital

3. Membuat Table Kebenarannya

4. Merumuskan Tabel Kebenarannya

5. Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K Map (Kotak-kotak)

Jenis-Jenis K-Map

1. K-Map 2 variabel

2. K-Map 3 variabel

3. K-Map 4 variabel

4. K-Map 5 variabel

5. K-Map 6 variabel

Salah satu contoh penerapan dari K-Maps dalam dunia aljabar Boolean adalah:

Seperti gambar dibawah ini adalah sistem pemetaan pada bilang aljabar boolean : 

pada gambar pemetaan diatas, variabel dari aljabar boolean ditransfer berdasarkan variabelnya masing-masing, dimana terjadi sistem perubahan pada beberapa kotak sehingga menghasilkan sebuah rumus 2n dengan n adalah banyaknya kotak (1,2,3,4,...).

(Peta Karnaugh) K-Map merupakan penyederhanaan persamaan logika yang lebih sederhana dengan cara pemetaan yang terdapat kotak - kotak atau bujur sangkar yang jumlahnya tergantung dari banyaknya masukan dari rangkaian logikanya.

RUMUS MENENTUKAN JUMLAH KOTAK DALAM K -MAP

N = 2 dimana N = jumlah kotak dalam K-Map

N = banyaknya variabel/masukan

sebenarnya banyak sekali macam - macam k-map dari kmap dengan 2 variabel , 3 variabel dan 4 variabel. kita bisa melihat contoh k-map 2 variabel dibawah ini :

Jika terdapat 2 masukan variabel (X,Y atau A,B) dan 1 keluaran (z) maka . Dibawah sini ada beberapa sistem penghitungan aljabar boolean dengan menggunakan karnaugh map diantaranya :